Понятие «компьютерная математика» было введено Д.Куком и Г.Бейзом [1]. Конечно, как и всякий новый термин, вводимый в структуру науки, требуется уточнение этого понятия путем очерчивания сферы, которую он охватывает. Авторы наполняют его различными разделами математики: множества, отношения, функции, основные понятия арифметики, алгебраические структуры, матрицы, автоматы, компьютерная геометрия.
В 2001 году в журнале «Информатика и образование» N 2 была опубликована статья [2], некоторые из предложений которой могут послужить темой для обсуждения. Авторы статьи также используют термин «компьютерная математика». Они даже предлагают ввести вузовскую дисциплину с таким названием, и она по их мнению должна состоять из разделов:
1) основания конструктивной математики, состоящие из элементов семиотики, а также математической логики и теории алгоритмов;
2) конструктивная дискретная математика;
3) численные методы (включая компьютерную алгебру?)
4) компьютерная геометрия.
Первое, что вызывает несогласие – это попытка обособить «компьютерную математику» от общего и единого материнского дерева математики. Второе – вольное обращение с термином «конструктивная математика», который в системе математических наук имеет устоявшийся и определенный смысл, отличный от смысла, придаваемого ему авторами. Третье – в состав предлагаемого курса так или иначе в качестве разделов предлагается ввести большинство предметов существующего учебного цикла. Мы считаем, что принятый сейчас учебный план более полон и содержателен, и кроме того, структурирован по семестрам и по количеству отводящихся на предметы часов.
Осознание глубинной связи информатики и математики привело к тому, что в систему учебных дисциплин, входящих в учебный план подготовки учителя информатики, в 2000 году были включены предметы теоретической информатики и математические предметы, тесно с ними связанные. Принятый в 2000 году государственный образовательный стандарт предусматривает следующие предметы профессиональной подготовки учителя информатики (в порядке изучения по семестрам):
– математическая логика (4-й семестр);
– дискретная математика (4-й семестр);
– элементы абстрактной и компьютерной алгебры (5-й семестр);
– уравнения математической физики (5-й семестр);
– теория алгоритмов 6-й семестр);
– численные методы (6-й, 7-й семестры);
– теоретические основы информатики (6-й семестр);
– исследование операций (8-й семестр);
– компьютерное моделирование;
– основы искусственного интеллекта (10-й семестр).
Перечень теоретических дисциплин говорит о необходимости основательной предварительной и текущей подготовки и корреляции этих дисциплин между собой и теоретической и прикладной математикой. Ранее предпринимаемые попытки готовить специалистов по информатике без серьезных математических и теоретических (по информатике) знаний не принес успеха. Названный подход возможен лишь в отношении информационных технологий (с известными оговорками), к которым, конечно, не сводится информатика. Здесь уместно упомянуть, что в 2002 году при утверждении организационных структур Академии Наук России было выделено отделение математики в составе двух секций: 1) теоретическая математика; 2) прикладная математика и информатика. Это еще раз подтверждает единство математики и теоретической информатики – два ствола одного дерева.
С большим внутренним сопротивлением автор настоящей статьи согласился на условное использование термина «компьютерная математика» только для обозначения совокупности перечисленных предметов учебного плана, с включением в нее основ теоретической математики.
С одной стороны этимологически ясна связь этой группы наук с принятыми в информатике разделами «компьютерная геометрия» и «компьютерная алгебра». С другой – дословный перевод термина «computer science» означает вычислительная наука, что можно, не переводя слово «computer», трактовать, как компьютерная наука. Тогда «компьютерная математика» – это математические разделы вычислительной науки («computer science»), а вместе с этим – информатики (информатика – синоним англоязычного «computer science»). Не вдаваясь в дальнейшее обсуждение удачности или неудачности термина «компьютерная математика», воспользуемся им, и будем этим условным термином называть разделы информатики, которые тесно связаны с математическими науками (теоретическая информатика) и собственно математическими науками, идеи которых постоянно питают и теоретически обосновывают собственно информатику.
Рассматривая любой из перечисленных предметов, в каждом конкретном случае можно указать сферу использования соответствующих знаний либо для решения конкретных задач, либо в качестве обоснования некоторых теоретических положений информатики. Встает вопрос о том, что является самым важным, объединяющим все предметы моментом (кроме всеобщности отношения к информатике). На наш взгляд составители государственного стандарта по информатике впервые последовательно проводят идею универсальности основного методологического принципа информатики: математическое, информационное и компьютерное моделирование изучаемых систем и явлений. Таким образом, выделен инвариант информатики как науки.
Информатика является одной из основополагающих наук естественнонаучного цикла, наряду с философией, математикой и физикой. В этом качестве ее способы исследования различных явлений (систем и т.п.), методы решения задач, возникающих в самых разных сферах интеллектуальной деятельности современного человека, обладают единством подхода – методологией.
Воспроизведем в виде тезисов (в нашем изложении) некоторые мысли академика А.П.Ершова, высказанные им на 6-м Международном конгрессе по математическому образованию в Будапеште в 1988 году, которые полностью могут быть отнесены к предмету обсуждения этой статьи.
1. Резкое расширение математической практики. Повсеместное применение компьютеров, строительство информационной модели мира раздвинули объем и многообразие математической практики в грандиозных масштабах. Построение знаковых систем, схематизация конкретных объектов путем выделения их свойств, атрибутов и отношений, построение моделей, дедукция, редукция и рекурсивное мышление, выделение и поддержание уровней абстракции, прогнозирование поведения, анализ законов, установлений и правил, наконец, конструирование огромного количества алгоритмов и их оценка – все это оружие современного интеллекта, каркас информационной культуры.
2. Изменение номенклатуры математических знаний. Компьютер воспроизводит человеческое поведение. Через программирование и построение информационных моделей в содержательную часть математики входят абстракции человеческой деятельности, свойства искусственных и живых систем. Это же усиливает роль и место дискретной математики. Выявляется роль разделов дискретного анализа параллельных классическому анализу. На первый план выходит изучение связи между дискретным и непрерывным, например, в синергетике и теории катастроф. Появляются новые приемы математической деятельности – доказательные вычисления. Еще один пример неортодоксальных математических доказательств – решение задачи о четырех красках.
3. Системная роль математической теории. Понятие теории родилось в недрах математики. С другой стороны, в информатике имеется важнейшее понятие обстановки. Обстановка – это воплощенная в компьютере замкнутая модель мира, в котором предстоит действовать программируемому исполнителю. Поскольку все исходы должны быть предусмотрены, необходимо иметь полное знание обстановки и сознавать пределы этого знания в реальном мире. Все это знание должно предшествовать конкретному моделированию. Выработка этого знания составляет сущность системного анализа. Системный анализ – новый массовый вид человеческой практики.
4. Вычислительный эксперимент с математической и компьютерной моделью. Его роль в инженерной практике общеизвестна. Следует подчеркнуть, что вычислительный эксперимент все в большей степени становится источником чисто теоретических открытий. Можно отметить практичность этого подхода как нового метода в познавательной деятельности в учебной педагогической практике.
От себя отметим, что построение когнитивных методов дидактики следует начинать с построения той или иной модели обучения.
5. Визуализация абстракций. Визуальное восприятие человека является поистине магическим кристаллом, позволяющим делать открытия. Поиски того, как сделать мысль наглядной, всегда мучили ученых и педагогов. Интеллектуальная графика имеет многовековую историю. За последнее время появилась масса публикаций – образы, порожденные абстрактным знанием, оживленным союзом ученого программиста и компьютера.
Отметим, что академик А.Н. Колмогоров подчеркивал различие между формальной символической системой и содержательным (математическим) знанием. Это отлично чувствует любой математик или информатик, решая творческую задачу. Компьютер, действительно, по строго формализованным правилам выполняет действия над конструктивной информацией (словами некоторого алфавита, или наборами символов). Законы мышления человека не таковы.
6. Динамизация математических объектов. Математика – наука об инвариантах. Познать природу инварианта можно, только осознав диалектику постоянства и изменчивости параметров этого инварианта. Увидеть в логической константе все проявления реальной жизни, описанной законом, – это значит понять закон и научиться его применять. Компьютер со своими средствами визуализации и вычислений позволяет исследователю извлечь из статической упаковки математических отношений всевозможные траектории развития динамического процесса во времени и пространстве, обогащая тем самым его опыт, интуицию и способность к предсказыванию.
7. Становление структуры из хаоса. Среди возможностей, предоставляемых вычислительным экспериментом и средствами визуализации, заслуживают особого упоминания эксперименты по наблюдению становления регулярных структур из исходного беспорядка. В их простейшем проявлении – это разнообразные конструкции, возникающие при итеративном применении некоторых нелинейных операторов к случайным исходным данным или попутным параметрам. Здесь формируется совершенно новый и исключительно мощный канал для распространения знаний на огромный класс природных явлений: движение материков, формирование береговой линии, горные ландшафты, рисунки полярных сияний, формообразование у растений, расцветка животных, развитие конфликтов и возникновение кризисов. Материал, поставляемый синергетикой и математикой нелинейного, позволяет сделать важный общенаучный вывод о принципиальной важности вычислительного эксперимента как познавательного инструмента: если источником всего нового в природе является нелинейность, то умозрительные представления экстраполяционного типа линейны по своей природе и поэтому ограничены в своей познавательной силе, как, например, любой вывод в существующей аксиоматике. Поэтому для добычи поистине нового знания необходим нелинейный синергетический процесс либо в мозгу человека, либо в памяти компьютера.
Отметим, процесс получения новых знаний при обучении также нелинеен. Осознание этого обстоятельства наконец-то начинает проникать в современные теории когнитивной психологии и дидактики.
8. Союз информатики, математики и лингвистики. Можно дать одно ограниченное определение информатики: информатика – это наука о правилах целеустремленной деятельности. Это определение становится просто справедливым, если мы признаем компьютер в соответствии с тезисом Черча и тьюринговым понятием универсальной машины (с оракулом) всеобъемлющей моделью целеустремленной деятельности. Если мы согласимся с этим, то информатика по праву входит в союз с математикой и лингвистикой, закладывая уже в школьное образование опорный треугольник развития главных проявлений человеческого интеллекта: способность к обучению, способность к рассуждению и способность к действию. Дисциплина действия так же нужна, как и дисциплина речи. Понимая, как компьютер решает задачу, он сохраняет это понимание в себе. Наблюдая катастрофы в искусственных мирах, он многократнее и безопаснее для себя вырабатывает опыт сопоставления решений и их последствий.
Направления развития информатики обозначены А.П. Ершовым очень четко и впечатляюще. Каким образом воплотить это в сфере образования, в конкретном вузе?
На наш взгляд «компьютерной математике», как она понимается нами, не хватает детальной проработки логических и функциональных связей между составляющими ее предметами и разделами. Следуя принятой парадигме обучения предметам цикла «компьютерная математика», с неизбежностью приходится (или придется) решать отмеченные проблемы. В связи с этим кафедра прикладной математики и ИМОИ факультета информатики выступила с инициативой по созданию экспериментальной методической площадки «компьютерная математика». Предполагается, что в процессе работы площадки будут выделены ключевые понятия и основные положения каждого из входящих в комплекс предметов, установление логических связей между ними и последовательность освоения соответствующих понятий.
Очень важным представляется выделение понятий, теорем и методов их доказательств в курсе основ теоретической математики. В настоящее время заметно некоторое несогласование разделов и тем основ теоретической математики потребностям предметов теоретической математики. В качестве одного из первых шагов автор предлагает введение на 1-м курсе пропедевтического предмета – введение в математику, в котором бы рассматривались важные понятия математики, нужные в самом начале обучения в университете и не изучаемые в средней школе. К ним стоит отнести: элементы теории множеств, отношения, отображения, элементы математической логики, элементарные логические средства рассуждений и доказательств в математике, необходимые и достаточные условия, метод полной математической индукции, метод доказательства от противного, дедукция, конструктивные доказательства.
Очень важным представляется создание некоего мостика, способного помочь студентам преодолеть известные эмоциональные трудности в освоении абстрактных разделов теоретической математики. В этом плане представляется интересной публикация перевода с английского языка монографии Р.Грэхема, Д.Кнута и О.Паташника «Конкретная математика». В предисловии к монографии Владимир Игоревич Арнольд написал. Созданная Ньютоном и Эйлером, Бернулли и Гауссом, Лейбницем и Дирихле математика оказывается вечно юной и вновь возрождается следующими поколениями математиков. Польза этого труда в том, что в ней рассматриваются конкретные примеры как дискретных, так и непрерывных систем. Противопоставление «конкретной математики» и «абстрактной математики», погоня за обобщениями оказалась столь захватывающей, что целое поколение математиков потеряло способность находить прелести в частностях, в том числе получать удовольствие от решения численных задач или оценить по достоинству роль математических методов. Абстрактная математика стала вырождаться и терять связь с действительностью. Конкретная математика – смесь континуальной и дискретной математики. Исчисление сумм, рекуррентные соотношения, элементарная теория чисел, дискретная теория вероятностей представляют большой интерес с технической стороны.
Вопросы, задачи и упражнения, рассматриваемые в «Конкретной математике», не относятся, строго говоря, к «компьютерной математике». Это разделы классической математики того периода, когда не было четкого разделения теоретической и прикладной математики. Несмотря на то, что и сами задачи, и приемы их решения достаточно серьезны, доведение решения до числа или формулы снимают у читателя чувство недоступности рассматриваемого материала. Можно организовать проведение специального курса на базе материала этой монографии.
В заключение отметим, что ведущие преподаватели факультета информатики достаточно отчетливо представляют себе направление и содержание работы, которую необходимо осуществить в рамках экспериментальной площадки университета «Компьютерная математика». Имеется определенный задел в виде разработанных учебных программ по всем дисциплинам цикла, а также большое количество публикаций, связанных с намеченными работами.
