Определение 1. Полутелом называется множество, являющееся одновременно мультипликативной группой и аддитивной коммутативной полугруппой без нуля, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Коммутативное полутело называется полуполем. Полутело называется (аддитивно) сократимым, если для любых его элементов a, b, c выполняется квазитождество a+c=b+ca=b, и (аддитивно) идемпотентным, если для любого его элемента а выполняется равенство a+a=a. Полутело называется вычитаемым, если для любых его элементов a, b найдется элемент с такой, что a+c=b или b+c=a. Полутело Р называется зероидным, если (ф1), что эквивалентно существованию в Р таких элементов a и b, что a+b=b.
Определение 2. Конгруэнция на полутеле P называется сократимой, если a, b, c P (ф2).
Определение 3. Пусть P – сократимое полукольцо. Тогда кольцо, любой элемент которого представим в виде a – b для подходящих a, bP, называется кольцом разностей сократимого полутела P.
Для произвольного полутела Р строится кольцо разностей следующим образом. Зададим на множестве РР операции сложения и умножения по следующему правилу: (a, b), (c, d)PP (a,b) + (c,d) = (a + b, c + d) и (a, b)(c, d)=(ac + bd, ad + bc). Несложно убедиться в том, что данное множество является полукольцом без нуля. Зададим на этом множестве отношение по правилу (a, b)(c, d) xP (a+d+x=b+c+x). Проверка соответствующих аксиом показывает, что это отношение является конгруэнцией. Поэтому можно рассматривать фактор множество R(P)=R=(PP)/, которое оказывается кольцом с единицей, называемое кольцом разностей полутела Р. Его элементы будем записывать в виде [a, b], где a, bP. Единицей служит элемент [2, 1], нулем – элемент [1, 1], а противоположным элементу [a, b] – элемент [b, a].
Отображение : PR, (a) = [a + 1,1] для любого a P, является каноническим гомоморфизмом полутела Р в его кольцо разностей R. Легко показать, что кольцо R(P) состоит из одного нуля тогда и только тогда, когда полутело Р – зероидное. Заметим, что инъективность равносильна сократимости полутела P.
Рассмотрим пример построения кольца разностей полуполя Q+Q, являющегося декартовым произведением полуполей Q+ – множества положительных рациональных чисел с обычными операциями и Q – множества положительных рациональных чисел со сложением max и обычным умножением. Тогда множество (Q+Q)(Q+Q), на котором заданы операции сложения и умножения
(ф3),
(ф4)
(ф5),
является полукольцом без нуля. Отношение задается правилом
(ф6)
(ф7),
и поэтому классы эквивалентности по выглядят следующим образом (ф8). Решетка конгруэнций рассматриваемого полутела есть декартово произведение двух двухэлементных цепей, а решетка идеалов кольца разностей есть двухэлементная цепь.
Рассмотрим отображение : ConP IdR, сопоставляющее каждой конгруэнции на полутеле Р идеал кольца разностей R по правилу (ф9), и отображение : IdR ConP, ставящее в соответствие каждому идеалу I кольца R конгруэнцию на P по правилу (ф10), где a, bP. Конгруэнции вида (I) называются идеальными.
В [1, предложение 3.2.] доказано, что отображение является эпиморфизмом решетки конгруэнций ConT сократимого полукольца T на решетку идеалов IdR кольца разностей R, а отображение – -гомоморфным вложением IdR в ConT, образом которого служит множество всех конгруэнций на Т со свойством сократимости. Заметим, что этот факт справедлив и для произвольного полутела P и его кольца разностей R(P). Отсюда следует, что дистрибутивность решетки ConP влечет дистрибутивность решетки IdR(P). Там же было показано, что конгруэнция на аддитивно сократимом полукольце Т идеальна тогда и только тогда, когда она обладает свойством сократимости. Обобщим данный результат:
Теорема 1. Пусть – произвольная конгруэнция на полутеле Р. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) конгруэнция на полутеле P идеальна;
2) обладает свойством сократимости;
3) P/ – сократимое полутело.
Доказательство. Эквивалентность условий 2) и 3) непосредственно следует из определения 2, поскольку записи (ф11) и (ф12) эквивалентны для любых a, b, c P и ConP.
Покажем справедливость импликации 1)2). Пусть конгруэнция ConP идеальна и пусть (a + c)(b + c) для некоторых. Тогда [a + c, b + c] I. Но пары (a, b) и (a+c, b+c) эквивалентны, так как a+b+c+x=b+a+c+x для любого xP, поэтому [a + c, b + c] = [a,b] I. По определению идеальной конгруэнции получаем, что ab.
2)1). Пусть обладает свойством сократимости. Рассмотрим (ф13) и покажем, что (ф14). Очевидно, что если ab, то [a,b] I. Предположим, что [a,b] I. Это значит, что для некоторых с,d P таких, что cd, выполняется равенство [a, b]=[c, d]. Тогда существует такой xP, что a+d+x=b+c+x, поэтому (a+d+x+c)(b+c+x+d). Поскольку сократимо, то ab.
Следствие 1. Для сократимой конгруэнции на произвольном полутеле P верно равенство = (()).
Следствие 2. Отношение равнообразности гомоморфизма : PR(P) является наименьшей сократимой конгруэнцией ({0}) на полутеле P. Значит, полутело P имеет единственную сократимую конгруэнцию (именно 1) тогда и только тогда, когда P зероидное.
Теорема А [2]. Любое полутело P является расширением сократимого полутела S(P) с помощью идемпотентного полутела P/S(P). Т.е. существует такая конгруэнция на полутеле Р, что [1] есть сократимое полутело, а P/ – идемпотентное полутело. Полутело S(P) называют сократимой частью полутела Р.
Обозначим ядро (класс единицы) главной конгруэнции, порожденной парой (1, а), через Ker(а), а саму конгруэнцию – Ker(2).
Теорема 2. Для любого сократимого полутела Р следующие условия эквивалентны:
1) Ker(2)=P;
2) любая конгруэнция на Р сократима;
3) решетка конгруэнций на Р канонически изоморфна решетке идеалов кольца разностей.
Доказательство. Покажем, что из первого условия вытекает второе. Пусть – конгруэнция на полутеле Р. Рассмотрим полутело P/. По теореме А существует сократимая часть P/, содержащая элемент 2=1+1. Но конгруэнция Ker(2) на P совпадает с наибольшей конгруэнцией 1, поэтому будет наибольшей на P/ конгруэнция, склеивающая 1 и 2. Значит, полутело P/ сократимо и по теореме 1 конгруэнция сократима.
2)3). Поскольку любая конгруэнция на полутеле Р сократима, то Р – сократимое полутело (достаточно рассмотреть наименьшую конгруэнцию – отношение равенства) и – эпиморфизм решетки конгруэнций ConP на решетку идеалов IdR кольца разностей R. Cледствие 1 дает равенство = (()) для всех ConP. Поэтому отображение (ф15) есть изоморфизм.
3)1). Так как элементы 1 и 2 находятся в отношении Ker(2), то идеал (Ker(2)) содержит единицу [2, 1], т.е. (Ker(2))=R. Решетки ConP и IdR по условию изоморфны, поэтому все конгруэнции на Р идеальны, а значит, сократимы по теореме 1. Значит, по следствию 1 (ф16) =1.
Следствие 3. Если на полутеле наименьшая конгруэнция, склеивающая 1 и 2, наибольшая, то полутело сократимо.
Следствие 4. Если Ker(2)=Р для полутела Р, то дистрибутивность решетки конгруэнций P эквивалентно дистрибутивности решетки идеалов его кольца разностей R(P).
В заключение рассмотрим примеры сократимых полуполей, в которых Ker(2)P и конгруэнция 1 главная. Нам понадобится следующее
Предложение 1. Для любой конгруэнции на полутеле P выполняется импликация (ф17).
Доказательство. Пусть a(a + b + c). Рассмотрим факторполутело P/. Тогда [a]=[a+b+c]=[a]+[b]+[c]=[a+b]+[c]. Отношение на xy на полутеле P/, задаваемое условием y=x+z для некоторого zP/, является отношением порядка на P/ (см. [3, предложение 18.24]). Поучаем, что
[a][a]+[b] =[a+b] и [a+b][a], откуда [a+b]=[a], т. е. a(a+b).
Предложение 2. Если конгруэнция на полутеле P сократима и a(a+b) для некоторых a, bP, то =1.
Доказательство. Пусть – сократимая конгруэнция на полутеле Р и a(a+b) для некоторых a, bP. Тогда, с одной стороны, по теореме 1 P/ – сократимое полутело. С другой, полутело P/ идемпотентное, так как имеем (a+b)(a+b+b), откуда b(2b) и 12, т. е. [1]=[2]. Значит, полутело P/ одноэлементное и =1.
Пример 1. Рассмотрим полуполе U всех непрерывных положительных функций на интервале (0; 1). Главная конгруэнция на U, порожденная парой 1 и (ф18), содержит конгруэнцию Ker(2). В самом деле, 1Ker(у)(ф19)=1+1(ф20), откуда 12 по предложению 1. Но, с другой стороны, Ker(у)Ker(2), так как Ker(2) состоит только из ограниченных функций. Положим P=Ker(y). Поскольку Ker(y) содержит 2, то P является полуполем, которое и будет искомым.
Пример 2. Рассмотрим нестандартное расширение T полуполя всех положительных действительных чисел. Поскольку полуполе T линейно упорядочено и вычитаемо, то любая конгруэнция на нем выпукла: если ab и a
Ker = {(1, r): r – конечное число} не является идеальной и строго содержится в Ker(2). Имеем ()={[(1, r1), (1, r2)]: r1, r2T}. Конгруэнция (()) является идеальной и не содержится в Ker(2).
