Точка Торричелли
Точка Торричелли –точка в плоскости треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение.
Утверждение 1. Для трех данных точек не может существовать на плоскости больше одной точки, сумма расстояний которой до вершин имеет наименьшее значение.
○ Предположим, что таких точек несколько. Тогда, очевидно, все они будут иметь одинаковые суммы расстояний от трех данных точек. Возьмем две из них М и М1 . Если N есть средина отрезка ММ1 , то заметив, что удвоенная медиана треугольника меньше суммы боковых сторон, мы получим три неравенства:
2 NА < АМ + АМ1 ;
2 NВ < ВМ + ВМ1 ;
2 NС < СМ + СМ1 .
Рис.1.
Отсюда 2(NА + NВ + NС) < АМ + ВМ + СМ + АМ1 + ВМ1 + СМ1 , или NА + NВ + NС < АМ + ВМ + СМ.
Итак, точка N имеет сумму расстояний, меньшую, чем точки М и М1, что противоречит допущению. ● (Это доказательство дано Н. М. Соловьевым).
Утверждение 2. Точка Торричелли не может лежать вне треугольника.
Предположим, что искомая точка М лежит вне треугольника и расположена так, как указано на рис. 2а.
Рис. 2
Тогда МА + МВ + МС не может быть наименьшим, так как М1А + М1В + М1С < МА´ + МВ + + МС (где М1 – точка пересечения прямой МС со стороной АВ). Пусть точка М расположена так, как указано на рис. 2б, то есть точка М расположена внутри угла В1АС1. В этом случае МВ +МС > АВ + АС (объемлющая более объемлемой), а поэтому МА +МВ + МС > АВ + АС.
Итак, точка, сумма расстояний которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение, лежит либо внутри треугольника, либо совпадает с одной из его вершин.
Перейдем непосредственно к решению задачи о нахождении точки Торричелли.
Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС.
Найдем сумму отрезков РА+РВ+РС. (Рис. 3)
Повернем ∆ВРА на угол в 60° вокруг точки В так, чтобы он оказался вне треугольника АВС. Точка А займет положение А1, не зависящее от выбора точки Р.
Точка Р займет положение Р1.
∆РВР1 – равносторонний: РР1 = РВ
РА + РВ + РС = А1Р1 + Р1Р + РС.
Рис. 3
Наименьшее значение будет для точки Р, лежащей на прямой А1С. Так как в этом случае Р1, Р, С лежат на одной прямой, то угол ВРС, смежный с углом равностороннего треугольника, равен 120°; т. к. угол А1Р1В, равный 120°, равен АВС, то и угол АРВ = 120°.
Итак, для отыскания точки Р строим на каждой из сторон сегмент, вмещающий угол в 120°. Точка пересечения дуг сегментов – искомая точка.
Точка Р находится внутри треугольника, если среди углов нет угла, равного или большего 120°.
Рассмотрим случаи: а) когда один из углов ∆АВС равен 120°;
б) когда один из углов ∆АВС больше 120°.
а) В плоскости ∆АВС с углом А = 120° найдем точку Торричелли.
○ Построив равносторонние ∆АСВ1 и ∆АВС1, докажем, что вершина А – искомая точка. Покажем, что для всякой точки, лежащей внутри треугольника, например для точки Р, имеет место соотношение РА + РВ + РС > АВ +АС. (Рис.4.)
Рис. 4.
Построим на отрезке АР равносторонний треугольник АРР1. Из равенства ∆В1Р1А = ∆СРА (АВ1 = АС; АР1=АР; РАС=В1АР1) следует, что РС = Р1В1.
Итак:
РА + РВ + РС = РВ + РР1 + Р1В;
РВ + РР1 + Р1В1 > В1В;
РВ + РА + РС > АВ + АС.●
б) В плоскости ∆АВС с углом А > 120° найдем точку Торричелли.
Покажем, что искомой точкой является вершина тупого угла.
Возьмем произвольную точку Р внутри треугольника и покажем, что сумма РА + РВ + РС > АВ + АС. (Рис.5.)
Рис. 5
Построим равносторонние треугольники РАР1 и АВС1.
∆АВР = ∆АР1С1 (АР = АР1;
АВ = АС1; РАВ = Р1АС1).
Следовательно ВР=Р1С1; поэтому
РС + РА + РВ = РС +РР1 + Р1С1
и далее
РА + РВ + РС > АС + АС1;
РА + РВ + РС > АС +АВ.
Задача решена.
