Динамика развития двух антагонистических популяций

Постановка задачи. Предположим что в некотором ареале есть две однородные антагонистические популяции: первая – популяция хищников; вторая – популяция жертв. Хищники питаются только жертвами, а жертвы питаются чем – то из вне. Имеющиеся у биологов-исследователей данные говорят, что в отсутствии хищников популяция жертв ведет себя в соответствии с моделью Мальтуса (будем считать, что единственным неблагоприятным фактором для этой популяции являются хищники), т.е. скорость прироста численности жертв прямо пропорциональна их количеству. В присутствии хищников появляется фактор, замедляющий рост численности жертв (скорость уменьшается) и скорость уменьшения численности жертв (вследствие их поедания хищниками) прямо пропорциональна произведению количества жертв на количество хищников. С точки зрения хищников картина обратная. Без популяции жертв хищники вымирают (считаем, что больше источников питания нет), т.е. скорость изменения численности хищников отрицательна и прямо пропорциональна численности хищников. При наличии, жертв появляется в отношении хищников положительный фактор. Он проявляется в росте численности хищников прямо пропорционально произведению численности жертв на численность хищников.
Опираясь на такие опытные факты, составить компьютерную модель динамики взаимодействия сообщества "хищник-жертва".
Математическая модель. Фактически при постановке задачи уже названы все основные закономерности, положенные в основу математической модели. Впервые разработку математической модели при выдвинутых гипотезах сделал известный итальянский математик Вито Вольтерра (1860-1940).
Пусть x(t) — численность популяции жертв в момент времени t, а y(t) —популяции хищников в момент времени t. Пусть N — количество особей в популяции жертв в начальный момент исследования, M — первоначальное количество особей в популяции хищников. В соответствии со сделанными предположениями приходим к двум дифференциальным уравнениям и начальным условиям для каждой популяции. Эти уравнения следует рассматривать одновременно, т.е. как систему уравнений (они сцеплены между собой). При сделанных предположениях модель Вольтерра записывается в следующем виде:

Эту математическую модель и возьмем за основу построения вычислительной модели поведения популяции.
Вычислительная модель. Построение вычислительной модели основано на том же приеме, что и в предыдущей модели "однородная популяция".
Как вы помните, полученная математическая модель — пример непрерывной модели и не может служить непосредственной основой для построения соответствующей компьютерной модели.
Необходимо создать дискретный аналог непрерывной математической модели, т.е. вычислительную модель. Для этой цели:
1) разобьем промежуток времени, на котором мы будем рассматривать поведение численности популяций [0; Т], равноотстоящими точками (узлами) ti = t  i, где t фиксированная величина (элементарный временной отрезок), а i принимает значения от 0 до J;
2) в каждой узловой точке ti значение производных x'(ti), y'(ti) можно (как и в случае модели Ферхюльста-Пирла) приближенно представить конечно-разностным отношениями
.
Заменяя во всех узловых точках первые производные на конечно-разностные отношения и рассматривая дифференциальные уравнения в математической модели поведения популяции только в узловых точках, а также разрешая получившиеся равенства относительно xi+1, yi+1 приходим к следующей вычислительной модели:

Таким образом, мы получили два рекуррентных соотношения, считать по которым следует одновременно, т.е. одновременно вычислять и количество хищников, и количество жертв в момент времени i+1.
Компьютерная модель. Работа с построенной компьютерной моделью заключается в последовательном просмотре поведения обеих популяций на графиках при различных значениях исходного количества особей N и M, а также различных значений коэффициентов рождаемости и смертности k1, k2, b1, b2. При фиксированных значениях N и M надо отыскать характерное поведение обеих популяций:
1) вымирание одной и неограниченный рост другой;
2) динамическое равновесие (стационарный режим).
Замечание. 1. Надо помнить, что определяющими являются не сами значения указанных коэффициентов, а их отношения, т.е. k1/b1 и k2/b2.
2. Чтобы в программе не происходило переполнения нужно выбирать коэффициенты рождаемости и смертности таким образом, чтобы b1=O(k22) и k2=O(b22).
 
1-1 можно быстро Скачать WoW аддоны бесплатно для всех классов очень классно! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40