РАСШИРЕНИЯ КОЛЬЦА И ПОЛУТЕЛА

В статье изучаются полукольца, каждый элемент которых либо обратим, либо имеет противоположный. Введено понятие 0-1-расширения полуколец.
Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.
Полукольцом называется такая алгебраическая структура S; +, , 0, что S; +, 0 - коммутативный моноид с нулем 0, S,  - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру S; +, , которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Коммутативное полутело называется полуполем. Полукольцо с квазитождеством a+b=0  a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+c  b=c называется сократимым.
Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция , что K[0] - изоморфно нулевому ядру - и S/T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция , для которой K[1] - изоморфно единичному ядру - и S/T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).
Для произвольного полукольца S обозначим через r(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что r(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т. е. a+b r(S)  a, br(S)). Пусть S/r(S) – фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу r(S): s конгруэнтно t  s+a=t+b для некоторых a, br(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S уравнений вида axa=a.
Справедливы следующие утверждения.
1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного r(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]
2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал r(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].
3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал r(S) полукольца S простой (т .е. ab r(S) влечет a r(S) или b r(S)).
4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/ r(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда r(S) есть максимальный односторонний идеал полукольца S.
В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].
5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.
6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/, где  - конгруэнция на S, такая, что ab означает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].
7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].
Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец. Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция , что [0]ρK, [1]L и S/T.
В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?
Соответствующую тройку будем называть допустимой. Обозначим через D={0, 1} двухэлементную цепь.
Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией , для которой [0]R, [1]P, F/L2. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим P R. Ясно, что для любых pP, rR, prR, p+rP.
С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца r(S) и полутела U(S). При этом разбиение {r(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию  на S.
Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» rs = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента r существует единственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.
Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:
1) существует допустимая тройка áR, U, Lñ, где L – любая дистрибутивная решетка с 1¹0;
2) существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;
3) R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая абелева группа без кручения.
Доказательство. 1)2). Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию . Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединения можно взять подполукольцо [1][0] в S.
2)1). Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того L\I - дуальный идеал.
Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r), iI, rR, и (l,p), lL\I, pP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]R, [1]P и F/L2. Если в качестве конгруэнции  выбрать отношение равенства первых координат, то [0]R, [1]P, S/L2, что завершает доказательство.
Лемма. Пусть в кольце R r r tR,(r+rr+r)t=0,(r+rr+r)t=0, тогда r r ,r+rr+r=0r+rr+r=0.
Доказательство. Пусть выполнено условие леммы. Положим r=-r-rr. Имеем
r+rr+r = r+(- r - rr)r - r - rr = (r+rr+r)(-r)=0,
r+rr+r = r+r (- r - rr) - r - rr = (r+rr+r)(-r)=0.
2)3). P содержит Q+, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rr=0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q+ и, значит, модуль над Q. Поэтому - делимая абелева группа без кручения.
Множество T= Q++R является подполутелом в P, поскольку
q1+r1+q2+r2 = (q1+q2)+(r1+r2);
(q1+r1)(q2+r2) = (q1q2+q1r2+r1q2+r1r2) = q1q2+(q1r2+r1q2+r1r2);
t=q+r1=qt -1+rt -1t -1=q -1- q -1r t -1 Q+ + R.
Следовательно, для любого элемента 1+r, rR, найдётся такой 1+r, rR, что (1+r)(1+r) = (1+r)(1+r) = 1. Из закона дистрибутивности следует, что 1+r+rr+r = 1+r+rr+r = 1. Умножая последнее равенство на любое tR, получаем (r+rr+r)t=0(r+rr+r)t=0. Значит, в виду леммы R радикально по Джекобсону.
3)2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q+R с операциями
(q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2) и (q1,r1)(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2)
является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S(Q+{0})R с теми же операциями совпадает с (Q+R) ({0}R) = (Q+R) R.
Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. Таково, в частности, кольцо с нулевым умножением. Еще одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порожденное одним элементом . Пусть  - образующий такого кольца R. Поскольку в качестве элементов R выступают p1 + p22 + … + pn-1n-1, piQ, где n – показатель нильпотентности , то T R совпадает с одним из двух полуколец с элементами
(q+q1 + q22 + … + qn-1n-1, p1 + p22 + … + pn-1n-1) или
(q+q1 + q22 + … + qn-1n-2, p1 + p22 + … + pn-1n-1), где qQ+, qi,piQ,
и операциями
(q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2) и (q1,r1)(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2).
2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. В нем a+x+ax = 0x = (-a)/(1+a)(0) .
Дальнейшее рассмотрение направлено на отыскание всевозможных полутел P, таких, что P, R - лежат в одной допустимой тройке с фиксированным кольцом R.
Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар вида
(q+q1 + q22 + … + qn-1l, p1 + p22 + … + pn-1m),
где qQ+, qi, piQ, l,mN.
Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берется не все множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).
Этот пример легко обобщается на многочлены от произвольного множества переменных.
Замечания. 1. Множество элементов E = {R|1+=1} образует в Ann R={mR: rR r∙m = m∙r =0} и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.
2. Множество Q+×(R/I) является полутелом с операциями (q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2) и (q1,r1)(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2), где I - произвольный идеал кольца R с делимой аддитивной группой.
Теорема 2. Пусть áR, U, Lñ - допустимая тройка и кольцо R ненулевое. Тогда множество Q++R есть подполутело в U, изоморфное ((R/I)´Q+), где I - некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. Существует канонический гомоморфизм a полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End RR, образ которого содержит Q+. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q+).
Доказательство. Пусть даны полутело T и кольцо R, состоящие в одной допустимой тройке. Любой элемент T=Q++R представим в виде q+r, qQ+, rR. Два элемента q+r1 и q+r2 равны тогда и только тогда, когда q+r1-r2=q  1+q-1(r1-r2)=1. Значит, из замечания 1 вытекает q+r1 = q+r21+r1-r2 = 1. С другой стороны, если 1+i = 1, iR, то qQ+, rR q+r+i=q+r. Таким образом, элементами полутела T являются, в точности, классы q×(R/I) при I = {iAnn R:1+i=1}.
Далее, система (Q+×(R/I))({0}×R) с операциями (q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2) и (q1,r1)(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2), где I - произвольный идеал аннулятора Ann R с делимой аддитивной группой, является дизъюнктным объединением. Сложение класса факторкольца R/I с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца. Отображение u: RuR, uU, ввиду дистрибутивности и ассоциативности в P R является R–модульным эндоморфизмом. Пусть u+v:R(u+v)R и uv:RuvR, тогда отображение : U End RR, сопоставляющее каждому элементу uU эндоморфизм u, - канонический гомоморфизм.
Пусть правый аннулятор кольца R нулевой. Тогда для элементов q1+r1 и q2+r2 можно считать, что q1=q2+q3 (q3 может равняться нулю). При любом rR имеем (q1+r1)r=(q2+r2)r(q3+r1-r2)r=0q3=0, r1=r2. Элементы q1+r1 и q2+r2 одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому  - мономорфизм и Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q+).
При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности P R для данных P и R.
Предложение. Существуют полутело U и кольцо R, имеющие различные дизъюнктные объединения U R.
Доказательство. Пусть для коммутативных полутела U и кольца R имеется коммутативное полукольцо U R и пусть tR не лежит в Ann R, но trAnn R rR. Примером служит полукольцо пар
(q+q1 + q22 + … + qn-1n-1, p1 + p22 + … + pn-1n-1),
где qQ+,qi, piQ из примера 1 и t=n-2. Определим новые операции на UR следующим образом: умножение оставим неизменным, а сложение элементов rR и uU зададим формулой ur=u+r+rt. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов ассоциативности сложения:
(u1u2)r=u1(u2r)u1+u2+r+rt= u1+u2+r+rt;
(ur1)r2=u(r1r2)u+r1+r1t+r2+r2t=u+r1+r2+(r1+r2)t
и законов дистрибутивности:
u1(ru2)=u1ru1u2u1(r+u2+rt)=u1u2+u1r+u1rt;
r1(ur2)=r1ur1r2r1u+r1r2+r1r2t=r1u+r1r2.
Таким образом, UR с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f:uu uU; r(1+t)-1r rR. Причём, fR:r(1+t)-1r (rR) – автоморфизм R. Действительно, для каждого элемента r имеется свой праобраз (1+t)r, (1+t)r1r2=r1r2 и выполняются тождества:
r1,r2, fR(r1+r2)=(1+t)-1(r1+r2)= (1+t)-1r1+(1+t)-1r2=fR(r1)+ fR(r2),
r1,r2,(1+t)-1(r1∙r2)=(1+t)-1(1+t)-1(r1∙r2),
Поэтому в виду коммутативности полукольца fR(r1∙r2)= fR(r1)fR (r2). Поскольку при отображении f кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм построенных полуколец на UR вытекает из тождеств:
uU rR f(u+r)=u+r= u+r+(1+t)-1r f(u)f(r),
uU rR f(ur)=(1+t)-1ur=u(1+t)-1r=f(u) f(r).
Вопрос о том, единственно ли с точностью до изоморфизма дизъюнктное объединение полутела и кольца, пока остаётся открытым.