МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Математическое моделирование основа компьютерного моделирова-ния. В настоящее время курс компьютерного моделирования – существенная часть подготовки любого специалиста по информатике. Объяснение этому факту – методологией информатики как естественной науки является по-строение и изучение различного рода моделей: математических, вычисли-тельных, информационных и компьютерных. В зависимости от контекста на первое место выступают те или иные аспекты моделирования, но основным, конечно, является именно математическое моделирование. Вопросы по-строения и анализа математических моделей поднимаются в настоящей ста-тье. В изложении сущности математического моделирования и основных на-правлений в построении и анализе моделей автор использовал взгляды авто-ров, приведенных в списке литературы.

1. Сущность математического моделирования и задачи, возни-кающие при этом.
Математическое моделирование – приближенное описание како-го либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математиче-ской символики. Анализ математических моделей позволяет проникать в сущность изучаемых явлений. Математическое моделирование – мощный метод изучения внешнего мира, а также прогнозирования и управления.
Процесс математического моделирования можно подразделить на че-тыре этапа.
Первый этап – формулировка законов, связывающих основные объек-ты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изу-чаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качест-венных представлений между объектами модели.
Второй этап – исследование математических задач, к которым приво-дят построенные математические модели. Основным вопросом здесь являет-ся решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопостав-ления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль играет математический аппарат, необходимый для описания математи-ческой модели. Поскольку далеко не всегда удается решить прямую задачу в аналитическом виде, постольку большое значение приобретают методы вы-числительной математики, позволяющие получать количественную выход-ную информацию как результат решения сложных математических задач (вычислительная модель, адекватная математической) с помощью вычисли-тельной техники.
Третий этап – выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотети-ческая модель критерию практики, то есть выяснения вопроса о том, согла-суются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями из модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена (все параметры были заданы), то определение уклонений теоретических следст-вий от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой этих уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении математической модели некоторые ее характеристики остаются неопределенными (не задан-ными). Задачи, в которых находятся эти характеристики модели (параметри-ческие, или функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности с результатами наблюдений изучае-мых явлений, называются обратными задачами. Если модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель не пригодна для исследования рассматриваемых явлений. Примене-ние критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) математической модели.
Четвертый этап – последующий анализ модели в связи с накоплени-ем данных об изучаемых явлениях и модернизации модели. В процессе раз-вития науки и техники данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются, и наступает момент, когда выводы, полученные на основании существующей модели, не соответствуют нашим данным о явлении. Таким образом, появляется необходимость построения новой математической моде-ли.
Надо отметить, что для изучения математических моделей применяют-ся математические аппараты, разработанные в самых разных математических науках и направлениях. Некоторые из них, в конце концов, даже стали само-стоятельными разделами математики. Достаточно упомянуть «Методы ре-шения некорректных (обратных) задач», или «Качественную теорию диффе-ренциальных уравнений», а также «Исследование операций».
В вязи с упоминанием последней науки необходимо отметить, что ма-тематические модели подразделяются на две большие группы: дескриптив-ные модели и оптимизационные. К первой группе относятся модели, создан-ные с целью изучения определенного явления или функционирования неко-торой системы. Во вторую группу включаются модели, которые могут быть использованы для управления некоторыми процессами. В моделях второй группы обязательно включаются критерии оптимальности (функции цели), зависящие от некоторых значений параметров, входящих в математическую модель. Субъект управления выбирает значения этих параметров так, чтобы функция цели принимала оптимальное значение (минимум или максимум).
Поскольку в состав параметров математической модели иногда вклю-чают параметры, известные лишь с некоторой вероятностью, то можно гово-рить о таких моделях как стохастических (вероятностных). Остальные мате-матические модели – детерминированные.
Поскольку основным математическим аппаратом, с помощью которого описываются процессы и явления в естествознании (теперь и в экономике, и в социальных науках) являются дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных произ-водных), то с необходимостью соответствующие математические модели но-сят непрерывный характер. В рамках чисто математических моделей такого характера в большей мере возможен лишь качественный анализ моделируе-мых процессов. Для получения их количественных характеристик необходи-ма дискретизация этих моделей, то есть разработка специальных методов, позволяющих создавать адекватные дискретные соответствия непрерывным моделям. Этими проблемами занимается хорошо развитая в настоящее время наука «Вычислительная математика» с ее многочисленными разделами. Воз-никающие при этом проблемы: аппроксимация непрерывной модели дис-кретной, методы решения дискретной задачи, оценка погрешности решения дискретной задачи, устойчивость вычислительной схемы и т.п. – интересные, важные и достаточно трудные задачи вычислительной математики.
 
1-1 можно быстро Скачать WoW аддоны бесплатно для всех классов очень классно! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40