2. Теория катастроф.
Катастрофа – скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Математическое описание катастроф дается теориями особенностей и бифуркаций.
Бифуркация (лат. bifurcus – раздвоение) – термин, применяемый в математике к ситуациям, когда некоторый объект (система) зависит от параметра (не обязательно скалярный) и в любой окрестности некоторого значения 0 этого параметра (бифуркационное значение или точка бифуркации) исследуемые качественные свойства объекта не являются одинаковыми для всех .
Аттракторы – установившиеся режимы системы, которые «притягивают» соседние режимы (переходные процессы). Аттрактор, то есть притягатель, – это притягивающее множество в фазовом пространстве. Аттракторы, отличные от состояний равновесия и строго периодических колебаний, получили название странных аттракторов.
Теория особенностей – обобщение исследования функций на максимум и минимум. В теории Х. Уитни (один из главных приемов исследования особенностей) функции заменяются отображениями, то есть набором нескольких функций нескольких переменных.
Средневековый философ М. Монтень считал, что самое характерное проявляется через особенности. Например, в математическом анализе при исследовании функции находятся точки минимумов и максимумов, точки перегибов, асимптотическое поведение на бесконечности, точки разрывов и характер поведения функции в окрестности их.
Особенности, бифуркации, катастрофы – термины, описывающие возникновение дискретных структур из гладких, непрерывных. В этом отношении можно говорить, что теория катастроф занимается вопросами взаимодействия дискретного и непрерывного. Некоторые авторы считают теорию катастроф частью теории особенностей, другие – включают теорию особенностей в теорию катастроф. Конечно, важным оказывается осознание обозначенной связи.
Одним из источников теории катастроф можно указать работу Леонарда Эйлера, великого математика и физика, о колебании нагруженной колонны. Им был установлен следующий замечательный факт. Если груз, лежащий на колонне, не превышает некоторого критического значения, то единственным положением равновесия будет ее прямолинейная вертикальная форма. Если в условиях равновесия на колонну будет действовать дополнительная сила, например, порыв ветра, то она вызовет ее колебания около ее вертикального положения равновесия. При прекращении воздействия ветра колебания колонны затухают, и она приходит в исходное положение равновесия.
В случае, когда колонна медленно (непрерывно) нагружается до величины, превосходящей критическую величину, картина резко меняется. Теперь уже вертикальное положение колонны перестает быть устойчивым. Вместо одной формы равновесия у нее, как показал Л. Эйлер, появляется бесконечное количество возможных форм. Если сейчас произойдет случайный порыв ветра, то определить точный ход дальнейших событий в принципе невозможно. Можно предположить, что колебания затухнут, если порывы ветра прекратятся. Около какого из возможных положений равновесия колебания затухнут, заранее сказать невозможно. При повторных воздействиях порывов ветра колонна вообще может не занять никакого положения равновесия и разрушается.
Этот классический пример демонстрирует одну важнейшую особенность материального мира: в системах могут существовать критические значения ее характеристик (параметров). Если, по некоторым причинам, величины этих параметров перейдут через свои критические значения, то организационная структура системы разрушается. Предусмотреть заранее, что именно при этом произойдет, какая организационная структура возникнет, невозможно, а если возможно, то лишь с некоторой степенью вероятности. Кроме того, скорость изменения структуры становится бесконечной, поэтому осуществить какие то воздействия извне на систему с целью сохранения ее структуры невозможно.
В силу простоты и наглядности рассмотрим еще один пример такого же плана. Пусть концы металлической линейки закреплены так, что линейка расположена выпуклостью вверх. Затем непрерывным образом линейка равномерно нагружается. Некоторое время она сохраняет свою конфигурацию (положение устойчивости). После достижения нагрузкой некоторой критической величины, линейка резко (скачкообразно) занимает положение вогнутости внутрь (новое положение равновесия). Сейчас известно – это происходит потому, что описанная система (нагруженная линейка) стремится к минимизации потенциальной энергии, накапливающейся в ней.
Исследования Л. Эйлера были продолжены многочисленными последователями. Оказалось, что существование таких критических значений не является исключительной ситуацией, а совершенно типично. Так в диссертации А. Пуанкаре (1887) были заложены основы теории бифуркаций и особенностей, в дальнейшем эта теория была существенно развита А. А. Андроновым (1933). Этими учеными и их учениками был создан мощный математический аппарат, который используется в современной теории катастроф.
За последние 40 лет теория катастроф (теория особенностей) достигла высокого технического уровня, главным образом благодаря работам Х. Уитни, Р. Тома, Дж. Мозера и В. И. Арнольда. С математической точки зрения теория катастроф – исследование отображений поверхности на плоскость, а это раздел топологии, недаром один из основоположников этой теории Р. Тома является известным специалистом в области топологии (В. И. Арнольд тоже).
В результате многочисленных исследований оказалось, что критические состояния свойственны не только физическим и техническим системам. В той же степени они возникают в системах биологических и социальных. Например, если численность некоторой популяции (ее биологический потенциал) окажется ниже некоторого предела, то популяцию ожидает гибель. В настоящее время методы «теории катастроф» успешно применяются при изучении систем общественной природы.
