5. «Жесткие» и «мягкие» математические модели

Мы уже упоминали о том, что наиболее адекватным математическим аппаратом описания многих явлений являются дифференциальные уравнения или системы дифференциальных уравнений. Если говорить о математиче-ских моделях в таких науках как экология, экономика и социология, то в них системы дифференциальных уравнений доминируют. Таким образом, теория дифференциальных уравнений (качественная теория дифференциальных уравнений) оказывается основным методом исследования математических моделей, разрабатываемых в названых областях.
Поскольку такие модели разрабатываются для использования их при принятии некоторых управленческих действий (операций), постольку нужно быть уверенным в том, что решение задачи оптимизации, основанной на по-строенной математической модели, не приведет систему к катастрофе. В на-стоящем сборнике рассмотрена одна из таких моделей («модель вылова ры-бы»).
Какими же качествами должна обладать математическая модель, чтобы принятие оптимальных решений на ее основе, не разрушили моделируемую систему?
В. И. Арнольд все математические модели подразделяет на два типа: «жесткие» и «мягкие». Под «жесткой» моделью подразумевается такая мо-дель, которая не реагирует на изменение условий, то есть закономерность, положенная в основу этой модели, не изменяется с изменением значений па-раметров. В «мягкой» модели такие изменения учитываются (даже при неко-торых значениях параметров может произойти смена закономерностей, свя-зывающих параметры модели). Ярким примером «жестких» моделей являют-ся линейные модели, в которых параметры модели связаны прямо пропор-циональной зависимостью. Рассмотрим несколько простейших моделей тако-го типа.
1) Закон Гука и колебания груза, подвешенного на пружине.
Пусть x(t) – отклонение от точки равновесия (0 на оси ординат, на-правленной вниз), k – коэффициент упругости, m – масса груза, g – ускорение свободного падения. Математическая модель процесса, который начнется после того, как груз оттянут вниз на величину x0 и свободно отпущен, пред-ставляет собой задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравне-ния второго порядка:
mx(t) = gm – kx(t), x(0) = x0 , x(0) = 0.
Правая часть уравнения – сила, действующая на груз ( gm– сила тя-жести, – kx(t) – сила упругости пружины в соответствии с законом Гука). Напомним, что закон Гука формулируется так: сила упругости прямо про-порциональна смещению и направлена в противоположную смещению сто-рону. Коэффициент пропорциональности k – коэффициент упругости. Харак-тер действия первой силы (тяжести) не изменяется при любых отклонениях x. Однако закон Гука, определяющий силу упругости, справедлив лишь для не-больших смещений x. Если груз оттянуть от состояния равновесия на вели-чину, большую некоторой критической, закон Гука перестает быть справед-ливым, а определяющими силу, которая появляется вместо силы упругости, становятся законы пластичности и текучести. Значит, при больших значени-ях x0 рассматриваемая модель не описывает колебания груза, подвешенного на пружине. При очень больших значениях x0 система становится неупругой.
2) Простейшая модель Мальтуса роста населения Земли представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с на-чальным условием (задача Коши):
x(t) = kx, x(0) = N,
где x(t) – численность населения в момент времени t, N – численность в на-чальный момент времени, k – коэффициент рождаемости. Закономерность динамики численности населения в соответствии с моделью Мальтуса: ско-рость изменения численности населения прямо пропорциональна этой чис-ленности.
Решением дифференциального уравнения в этой модели является функция x(t) = Nekt, в соответствии с которой рост населения носит экспо-ненциальный характер. Экспонента растет быстрее любой степенной функ-ции и поэтому очень быстро численность населения будет недопустимо ве-лика. Все мы знаем, что на самом деле этого не происходит, иначе быстро возрастающему населению просто не хватило бы материальных ресурсов для поддержания жизни. В настоящее время на Земле проживает около шести миллиардов человек. Оптимистические прогнозы на будущее оценивают предельную численность в 15 20 миллиардов человек. Это явно не соответ-ствует экспоненциальной модели Мальтуса, которая не зависит от численно-сти населения в текущий момент. Это пример «жесткой» модели.
Встанем на другую точку зрения. Заменим «жесткий» коэффициент рождаемости «мягким» k(x), зависящим от численности x. Приходим к моде-ли:
x(t) = k(x) x, x(0) = N.
Одним из самых простых вариантов выбора коэффициента является
k(x) = (a – bx).
Получающаяся при таком выборе k(x) модель – это модель Ферхюль-ста Пирла (логистическая). При небольших значениях численности x она ве-дет себя почти как экспоненциальная, при увеличении x в модели начинает возрастать значение второго члена в k(x), то есть (– bx). При этом числен-ность населения стремится к некоторому стационарному состоянию, завися-щему только от коэффициентов a и b. Легко заметить, что имеет место пре-дельное соотношение
x(t)(ф1) (ф2), b  0.
Логистическая модель динамики численности населения – пример «мягкой» модели. Несмотря на простоту, она в первом приближении хорошо описывает реальную ситуацию. Этой же моделью обычно пользуются при исследовании динамики любой однородной популяции.
3) Предположим, что логистическая модель описывает изменение чис-ленности популяции некоторого вида рыб, из которой постоянно изымается некоторый урожай (улов). Математическая модель такой системы описыва-ется дифференциальным уравнением:
x(t) = (a – bx)x – c.
В этой модели величина c – количество (или масса) выловленной рыбы.
Анализ модели вылова рыбы приводит к выводу: максимальное значе-ние вылова достигается при c, равном (ф3).
При этом популяция рыб приводится в критическое состояние, и ма-лейшие флуктуации (природные, не зависящие от действий человека), уменьшающие популяцию, приводят к полному ее исчезновению. Таким об-разом, рассмотренная модель – «жесткая». Оказывается, что рассмотренную «жесткую» модель вылова рыбы можно заменить «мягкой» моделью вводом в правую часть дифференциального уравнения модели слагаемое (–kx), отве-чающее за обратную связь. Новая модель при этом такова:
x(t) = (a – bx)x – kx.
Опираясь на новую «мягкую» модель можно добиться того же опти-мального количества вылова рыбы, что и следуя предыдущей «жесткой» мо-дели, не разрушая популяцию. Правда, этот улов будет получен не единовре-менно, а за некоторый период времени. Эти две модели подробно рассмотре-ны в статье, опубликованной в этом же сборнике.
Приведем несколько положений, связанных с «жестким» и «мягким» моделированием:
– жесткую модель всегда надлежит исследовать на структурную ус-тойчивость полученных при ее изучении результатов по отношению к малым изменениям модели (делающим ее «мягкой»);
– введение в модель обратной связи (то есть зависимости принимае-мых решений от реального состояния дел, а не только от ланов) стабилизиру-ет систему, которая без обратной связи разрушилась бы при оптимизации па-раметров.
 
1-1 можно быстро Скачать WoW аддоны бесплатно для всех классов очень классно! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40