О ПОЛНОМ ПУЧКОВОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПОЛУКОЛЕЦ

В статье рассмотрена конструкция, позволяющая получать полные пучковые представления полуколец. Ее применение продемонстрировано для строго гармонических полуколец.

В теории пучковых представлений полуколец (а также и других алгебраических систем) основной интерес вызывают изоморфные представления, и анализ известных представлений показывает, что главная сложность заключается в доказательстве их полноты (эпиморфности). Поэтому актуальной является задача нахождения общих пучковых конструкций и выяснение достаточных условий полноты представления сечениями этих пучков. Автором в [1] были рассмотрены две общие теоремы о полноте и найдены некоторые их применения. Настоящую работу можно считать продолжением указанной статьи; там же более подробно изложены термины, конструкции и продемонстрирована, как правило, стандартная техника функциональных представлений.
Напомним основные определения. Полукольцом называется алгебра S с двумя бинарными операциями, отличающаяся от ассоциативного кольца, возможно, необратимостью сложения. Нами рассматриваются только полукольца с 1 и мультипликативным нулем (т. е. a0=0=0a для любого aS).
Пучком полуколец называется тройка (P,,X) такая, что выполнены аксиомы:
1) P и X –топологические пространства;
2)  – локальный гомеоморфизм;
3) для любого xX  1(x) – полукольцо и P={Px: xX};
4) поточечно определенные полукольцевые операции непрерывны;
5) отображения (ф1) и (ф2), сопоставляющие каждой точке xX соответственно ноль 0x и единицу 1x полукольца Px, непрерывны.
Обычно будем говорить о пучке P над базисным пространством X, подразумевая при этом наличие проекции . Сечением или глобальным сечением пучка P называется непрерывное отображение  : X  P, при котором    – тождественное отображение пространства X. Множество всех сечений Г = Г(P,X) с поточечно определенными операциями является полукольцом. Наконец, пучковым представлением называется произвольный гомоморфизм полукольца S в полукольцо Г(P,X).
Семейство конгруэнций {???x : x  X} на полукольце S, индексированных точками топологического пространства X, называется открытым, если множество
U(a,b) = {x  X : a??? x b}
открыто для любой пары элементов a,b  S.
Значение открытых семейств конгруэнций показывается в следующем известном результате.
Лемма А ([2], теорема 3.1.2, а также более общий результат для универсальных алгебр [3]). Пусть S – полукольцо, X – топологическое пространство. Следующие условия эквивалентны:
1. {???x : x  X} – открытое семейство конгруэнций на S;
2. (P,X) – пучок полуколец, где P = {S / ???x : x  X}.
Положив для любого sS
(ф3),
где (x) – класс элемента s в факторполукольце S / ???x, получаем пучковое представление f полукольца S в указанном пучке. Очевидно, что это представление является факторным; это означает, что произвольная точка из P является значением некоторого глобального сечения ,s  S, в подходящей точке.
Обозначим через (X) и Id(S) решетку открытых множеств из X и решетку идеалов полукольца S соответственно. Скажем, что отображение
(ф4)
сохраняет покрытия, если (ф5) влечет (ф6). Класс нуля конгруэнции ??? обозначим через Ker???.
Перед основной теоремой отметим без доказательства одно известное свойство пучков.
Лемма B. Множество всех точек базисного пространства, в которых совпадают два сечения пучка, открыто. В частности, нуль множество
(ф7)
произвольного сечения  открыто.
Теорема 1. Пусть f – представление полукольца S сечениями пучка (P,X), индуцированное открытым семейством конгруэнций {???x : x  X}. Если X компактно и отображение (ф8), заданное правилом
(ф9)
для всякого U(X), сохраняет покрытия, то представление f полно.
Доказательство. Пусть  – произвольное глобальное сечение пучка (P,X). В силу факторности представления для каждой точки x  X найдется элемент ax  S такой, что (ф10), а по лемме B сечения  и (ф11) совпадают на некотором открытом множестве Ux. Из открытого покрытия {Ux : x  X} компактного пространства X выберем конечное подпокрытие {U1, …, Uk} и соответствующие элементы a1, …, ak  S. Имеем, (ф12) на Ui для каждого i = 1, …, k. Кроме того, (ф13), поэтому
s1 + … + sk = 1
для подходящих элементов (ф14).
Положим a = a1s1 + … + aksk  S. Для произвольных точки x  X и индекса i, i = 1, …, k, возможны два варианта: x  Ui или x  Ui. В первом случае из за совпадения  и (ф15) на Ui получаем
(ф16). (*)
Во втором случае (ф17), и поэтому (ф18), и снова выполняется равенство (*). Получили, что (*) верно для любого x  X и любого индекса i. Просуммируем равенства по i и получим
(ф19),
откуда (ф20) для произвольной точки x  X. Таким образом, любое глобальное сечение пучка является образом некоторого элемента полукольца S при представлении f, что означает полноту f. Теорема доказана.
Договоримся придерживаться обозначений, принятых в [2], глава 2.
Обозначим через MaxS максимальный спектр полукольца S – множество всех максимальных идеалов из S, наделенное стоуновской топологией. Для любого M  MaxS и подмножества A  MaxS положим
(ф21)
(ф22)
– двусторонние идеалы полукольца S. Для произвольного идеала I из S
z(I) = {M  MaxS : I  M}
– замкнутое подмножество максимального спектра.
Полукольцо S называется строго гармоническим, если для любых различных максимальных идеалов M и N из S найдутся такие элементы a  M \ N и b  N \ M, что aSb = 0.
Строго гармоническими полукольцами являются:
1) полукольцо C+(X) непрерывных неотрицательных действительных функций над произвольным пространством X;
2) полукольцо с единственным максимальным идеалом (в частности, локальное кольцо и полутело);
3) бирегулярное полукольцо;
4) ограниченная булева решетка.
Пусть (ф23), I – идеал в S, – произвольное открытое подмножество максимального спектра. Рассмотрим отображение
(ф24) (ф25)
В случае, когда S – строго гармоническое полукольцо, отображение  сохраняет покрытия. Действительно, пусть (ф26). Тогда (ф27). По лемме 2.1.5 [2]
(ф28),
и так как (ф29), а (ф30), то 0z(S) = S как пересечение пустого множества идеалов полукольца S. Получили, (ф31) и  сохраняет покрытия. Известно, что MaxS – компактное пространство, поэтому, для того, чтобы воспользоваться теоремой 1, необходимо некоторое открытое семейство конгруэнций, индексированных максимальными идеалами полукольца S, ядра которых – в точности идеалы 0M, M  MaxS. Укажем два типа таких конгруэнций:
(ф32);
(ф33).
Семейство конгруэнций {M : M  MaxS} индуцирует известное представление Ламбека. Семейство {(M) : M  MaxS} отношений Берна по идеалам 0M задает представление, аналогичное представлению Корниша [4] для ограниченных дистрибутивных решеток. Оба указанных представления будут полными по теореме 1 для строго гармонических полуколец. Стандартно проверяется их точность (инъективность представления). Из вышесказанного вытекает
Теорема 2. Пусть S – строго гармоническое полукольцо, (ф34) – открытое семейство конгруэнций таких, что (ф35) для любого M  MaxS. Тогда представление полукольца S сечениями пучка (ф36) полно. В частности, полными будут представления Ламбека и Корниша для произвольного строго гармонического полукольца.
Замечание. Известно [2], что ламбековское представление строго гармонического полукольца является компактным; его слои, фактически, совпадают с соответствующими слоями пучка Корниша. Отсюда вытекает совпадение конгруэнций M и (M) для любого M  MaxS. Возникает следующий вопрос: будут ли совпадать конгруэнции строго гармонического полукольца, как только их ядра будут равны между собой и равны идеалу 0M для произвольного M  MaxS? В терминах пучка мы можем сказать: пусть (ф37) и (ф38) – открытые системы конгруэнций такие, что для любого M  MaxS из (ф39) вытекает (ф40), тогда представления, индуцируемые этими системами, точны.
Результаты этой статьи анонсированы в [5].